\input{../preambules/preDM.tex}
\usepackage{enumitem}
\begin{document}

\chead{Devoir maison n�13}
\lfoot{Probabilit�s}

\begin{center}
\fbox{ \Large Probabilit� (Niveau 4 - Objectif ESSEC - HEC) }
\end{center}
\vspace{30pt}

\textsl{L'objectif du probl\`{e}me est d'\'{e}tudier les rudiments de la 
\emph{th\'{e}orie de la communication} - ou th\'{e}orie de l'information -
introduite en 1948 par Claude Shannon}.\bigskip 

\subsection*{D\'efinitions et notations}

$(\Omega ,\mathcal{A},P)$ d\'{e}signe un espace probabilis\'{e}.\newline
$\varphi $ est la fonction d\'{e}finie sur $]0,1]$ par $x\mapsto \varphi
(x)=-\dfrac{\ln (x)}{\ln (2)}$ .\newline
Pour un \'{e}v\'{e}nement $A$ de probabilit\'{e} non nulle, on pose $%
i(A)=\varphi (P(A))$.\newline
$h$ est la fonction d\'{e}finie sur $[0,1]$ par 
\begin{equation*}
h(0)=0\qquad \text{ et pour }x\in ]0,1],\quad h(x)=-x\dfrac{\ln (x)}{\ln (2)}
\end{equation*}%
Pour une variable al\'{e}atoire $X$ discr\`{e}te d\'{e}finie sur $(\Omega ,%
\mathcal{A},P) $ \`{a} valeurs r\'{e}elles, on pose sous r\'{e}serve
d'existence : 
\begin{equation*}
H(X)=\sum_{x\in X(\Omega )}h(P(X=x))
\end{equation*}%
Si $X$ est \`{a} valeurs dans un ensemble fini $\{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\}
$, alors $H(X)$ existe et, en notant $p_{k}=P(X=x_{k})$, on a : 
\begin{equation*}
H(X)=\sum_{k=1}^{n}h(P(X=x_{k}))=\sum_{k=1}^{n}h(p_{k})
\end{equation*}%
{\small \textsl{Remarque : En th\'{e}orie de l'information, $i(A)$ est appel%
\'{e} \emph{incertitude de l'\'{e}v\'{e}nement} $A$ et $H(X)$ est l'\emph{%
incertitude moyenne} - ou \emph{entropie} - de $X$. } }

\section*{Partie I : Incertitude des \'{e}v\'{e}nements}

\begin{enumerate}
\item On choisit une carte au hasard dans un jeu de $32$ cartes.

Soit $A$ l'\'{e}v\'{e}nement " la carte tir\'{e}e est la dame de c\oe ur ".

Que valent $P(A)$ et $i(A)$ ?

\item \label{facile} Soit $n\in \mathbb{N}^{*}$. On lance $n$ fois une
pi\`{e}ce \'{e}quilibr\'{e}e.

$A$ est l'\'{e}v\'{e}nement " obtenir $n$ fois PILE ". Pr\'{e}ciser $i(A)$.

\item V\'{e}rifier les points suivants :%
\begin{equation*}
\begin{tabular}{cl}
(i) & Pour un \'{e}v\'{e}nement $\Omega ^{\prime }$ quasi-certain : $%
i(\Omega ^{\prime })=0$. \\ 
(ii) & Si $A$ et l'\'{e}v\'{e}nement contraire $\overline{A}$ sont \'{e}%
quiprobables, alors $i(A)=1$. \\ 
(iii) & Si $A$ et $B$ sont ind\'{e}pendants pour la probabilit\'{e} $P$ et
si $P(A\cap B)\not=0$, alors $i(A\cap B)=i(A)+i(B)$.%
\end{tabular}%
\end{equation*}

\item Pr\'{e}ciser $i(A_{1}\cap A_{2}\cap \ldots \cap A_{n})$ quand les \'{e}%
v\'{e}nements $A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n}$ sont mutuellement ind\'{e}pendants
et $P(A_{1}\cap A_{2}\cap \ldots \cap A_{n})\not=0$.

En d\'{e}duire une nouvelle d\'{e}monstration de la question \ref{facile}.

\item Soit $A$ et $B$ deux \'{e}v\'{e}nements tels que $A\subset B$ et $%
P(A)\not=0$. Comparer $i(A)$ et $i(B)$.

\item Que vaut $\lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}\varphi (x)$ et quelle
interpr\'{e}tation peut-on donner de ce r\'{e}sultat ?
\end{enumerate}

\section*{Partie II :\hspace{0.2cm} Incertitude d'une variable al\'{e}atoire
discr\`{e}te}

\begin{enumerate}
\item Soit $n\in \mathbb{N}^{*}$. Si $U_{n}$ suit la loi uniforme sur $%
\{1,2,\ldots ,n\}$, que vaut $H(U_{n})$ ?

\item Si on suppose $P(Z=1)=1/4,P(Z=2)=1/4$ et $P(Z=3)=1/2$, que vaut $H(Z)$
?

Comparer $H(Z)$ et $H(U_{3})$.

\item On se propose de simuler informatiquement une variable al\'{e}atoire.
On rappelle que \textbf{(grand(1,1,'uin',1,j)} fournit au hasard un nombre �l�ment de $\entier{1,j}$. 

\begin{verbatim}
function y = Essec()
    ini = (grand(1,1,'uin',1,3)
    if ini == 3 thend
        y = (grand(1,1,'uin',1,2)
    else
        y = 3
    end
endfunction
\end{verbatim}


On appelle $Y$ le contenu de y apr\`{e}s ex\'{e}cution du programme Essec.

Donner la loi de $Y$, calculer son esp\'{e}rance $E(Y)$ et son incertitude $%
H(Y)$.

\item V\'{e}rifier que $h$ est continue et positive sur $[0,1]$.

Est-elle d\'{e}rivable en $0$ ? \'{E}tudier $h$ et dessiner sa courbe repr%
\'{e}sentative .

\item Soit $X$ une variable al\'{e}atoire \`{a} valeurs dans un ensemble
fini.

Montrer que $H(X)\geqslant 0$ avec \'{e}galit\'{e} si, et seulement si, $X$
est quasi-certaine.
\end{enumerate}


\end{document}